قانون حجم المكعب

تعريف المكعب

يعدّ المكعب من أبسط الأشكال الهندسيّة، فهو شكل ثلاثيّ الأبعاد منتظم متساوي الطول، والعرض، والارتفاع، ويتكوّن من ستّة أوجه مربّعة وثماني زوايا قائمة واثني عشر حرفاً.

قانون حجم المكعب

الأُس الثالث لأحد أضلاع المكعب

نحتاج في هذه الطريقة إلى معرفة طول أحد أضلاع المكعب، وغالباً ما يُعطى هذا الطول في المسألة الرياضية، أو يتمّ الحصول عليه من خلال استخدام أداة القياس المناسبة إذا كان الطول المطلوب على أرض الواقع، وعند تحديد الطول نجد حاصل الأُس الثالث لهذا الضلع بضربه في نفسه ثلاث مرات، أيّ أنّ حجم المكعب=طول الضلع أُس ثلاثة ويساوي س3، على فرض أنّ الضلع يساوي س.

مثال: إذا علمت أن طول حرف مكعب يساوي 2سم، احسب حجمه؟

الحل:

حجم المكعب=(طول الحرف)3=س3

حجم المكعب=(2)3=8سم3.

بما أنّ أبعاد المكعب متساوية في الطول، فيُمكن صياغة القانون على الصورة التالية:

حجم المكعب=مساحة القاعدة × ارتفاع المكعب.

حيث إنّ القاعدة مربّعة فإنّ مساحتها تساوي حاصل ضرب الطول في العرض.

ملاحظة: بما أنّ الحجم ثلاثي الأبعاد يجب تمييز الإجابة باستخدام الوحدات المكعبة، ففي المثال الذي ذكرناه كانت وحدة القياس الرئيسية السنتيمتر، وعليه فإنّ الإجابة النهائية كانت بوحدة السنتيمتر المكعب (سم3).

حساب الحجم من مساحة السطح

في حال كانت مساحة سطح المكعب معلومة فإنّنا نستخدم هذه الطريقة لحساب الحجم، فمثلاً نستطيع الحصول على طول ضلع المكعب من خلال مساحة المكعب بقسمتها على عدد الأوجه (6)، فنحصل على مساحة الوجه الواحد، ولإيجاد طول حرف المكعب نجد الجذر التربيعي للناتج (مساحة الوجه الواحد)، ثمّ يتمّ تكعيبه أو تطبيق القانون في الطريقة الأولى.

مثال: احسب حجم مكعب مساحة سطحه تساوي 30سم2.

الحل:

المساحة الجانبية (مساحة الوجه الواحد)=مساحة المكعب الكلية/عدد الأوجه

مساحة الوجه=30/6=5سم2

طول الحرف=الجذر التربيعي للمساحة

طول الحرف=الجذر التربيعي لـ 5=2.24 تقريباً.

حجم المكعب=(2.24)3=11.24سم3.

حساب الحجم من الأقطار

يتمّ حساب الحجم من الأقطار بطريقتين، وهما كالآتي:

• طول قطر أحد أوجه المكعب معلوم: نستطيع الحصول على طول ضلع المكعب من خلال طول قطر أحد أوجهه بقسمة طول هذا القطر على الجذر التربيعي لطوله، ثمّ تطبيق القانون السابق لإيجاد الحجم.

مثال: إذا علمت أن طول قطر أحد أوجه مكعب يساوي 9سم، أوجد حجم المكعب؟

الحل:

طول الضلع=طول القطر / الجذر التربيعي لطول القطر

طول الضلع=9/ الجذر التربيعي ل 9=9/ 3=3سم.

حجم المكعب=(3)3=7سم3

• طول الخط ثلاثي الأبعاد الواصل قطرياً من أحد زوايا المكعب إلى الزاوية المقابلة معلوم، في هذه الحالة نقوم بتطبيق القانون التالي للحصول على طول ضلع المكعب: د2=3س2 (الرمز د يُمثل القطر ثلاثي الأبعاد و س تُمثّل طول ضلع المكعب) ثمّ نستخدم قانون التكعيب السابق لحساب الحجم.

مثال: إذا كان طول القطر الثلاثي الأبعاد في مكعب يساوي 8 متر، أوجد حجم المكعب؟

الحل:

د2=3س2

(8)2=3 × س2

64=3 × س2

س2=64/3=21.33سم2

س=طول الضلع=الجذر التربيعي ل 21.33= 4.62م

حجم المكعب=(4.62)3=98.61 م3